问题的提出来源于一个实际场景，已知机器人坐标系与放在机器人上的相机坐标转换关系，当相机移动一段位移及旋转以后，求该旋转和位移在机器人坐标系中的表示

如下图，假设机器人坐标系R (x朝前，y朝左，z朝上), 相机坐标系C (处于R坐标系上方1米，x朝右，y朝下，z朝前), 相机之后沿C的z轴负方向移动2m，并绕C的y轴方向旋转-45度得到新坐标系C'

求C'旋转与R坐标系一致后相对于坐标系R的新坐标系R'（即目标坐标系R'应该表示为沿R的x轴负方向移动2m，并绕R的z轴转45度，转换到平面坐标（x,y,theta）就是（-2，0，45））

为此需要先弄清变换矩阵(transformation matrix)的工作原理

绕某个坐标系的x轴的旋转theta角时变换矩阵可以表示为

绕某个坐标系的y轴的旋转theta角时变换矩阵可以表示为 

绕某个坐标系的z轴的旋转theta角时变换矩阵可以表示为

假设我们先绕某个参考坐标系的Y轴旋转90°，再绕x轴转180°，最后平移（1.5，1，1.5），得到的变换矩阵为

顺带的，如果要变换参考坐标系上的某个点p（0,1,0），可以通过下面计算的到

需要注意的是这里用的是外旋（每次绕固定轴转，如下图），因此是左乘变换矩阵

内旋（每次绕自身旋转之后的轴转）对应的是右乘变换矩阵

在机器人坐标转换中，常用的旋转顺序为 X-Y-Z，先绕X，然后是Y，最后是Z，对应的旋转矩阵为

R=Rz(γ)∗Ry(β)∗Rx(α)

有了这些铺垫，回到我们最开头的问题。

已知从R变换到C，通过外旋方式需要先绕R的x轴转-90°（右手法则），然后再绕R的z轴转-90°，最后朝R的z轴平移1.0 （注意必须是先x，后y，最后z，顺序不能错，否则就不能用上面的旋转矩阵）即

相应python代码为

import numpy as np

import math

from numpy.linalg import inv

 

alpha = -90 * np.pi/180

beta = 0

gamma = -90 * np.pi/180

cos_a = math.cos(alpha)

sin_a = math.sin(alpha)

cos_b = math.cos(beta)

sin_b = math.sin(beta)

cos_g = math.cos(gamma)

sin_g = math.sin(gamma)

 

R_T_C = np.array([[cos_g*cos_b, -sin_g*cos_a + cos_g*sin_b*sin_a, sin_g*sin_a+cos_g*sin_b*cos_a, 0],

                                 [sin_g*cos_b, cos_g*cos_a + sin_g*sin_b*sin_a, -cos_g*sin_a+sin_g*s\

in_b*cos_a, 0],

                                 [-sin_b, cos_b*sin_a, cos_b*cos_a,1],

                                 [0, 0, 0, 1]])

 

C_T_R = inv(R_T_C)

 

alpha = 0

beta = -45 * np.pi/180

gamma = 0

cos_a = math.cos(alpha)

sin_a = math.sin(alpha)

cos_b = math.cos(beta)

sin_b = math.sin(beta)

cos_g = math.cos(gamma)

sin_g = math.sin(gamma)

 

C_T_Ch = np.array([[cos_g*cos_b, -sin_g*cos_a + cos_g*sin_b*sin_a, sin_g*sin_a+cos_g*sin_b*cos_a, 0]\

,

                                 [sin_g*cos_b, cos_g*cos_a + sin_g*sin_b*sin_a, -cos_g*sin_a+sin_g*s\

in_b*cos_a, 0],

                                 [-sin_b, cos_b*sin_a, cos_b*cos_a,-2],

                                 [0, 0, 0, 1]])

 

 

 

R_T_Rh = np.dot(R_T_C, np.dot(C_T_Ch, C_T_R))

 

euler_x = math.atan2(R_T_Rh[2][1], R_T_Rh[2][2])

euler_y = math.atan2(-R_T_Rh[2][0], math.sqrt(R_T_Rh[2][1]* R_T_Rh[2][1]+ R_T_Rh[2][2]* R_T_Rh[2][2]\

))

euler_z = math.atan2(R_T_Rh[1][0], R_T_Rh[0][0])

 

print("R_T_C")

print(R_T_C)

print("C_T_Ch")

print(C_T_Ch)

print("R_T_Rh")

print(R_T_Rh)

print("to euler")

print("euler_x ",euler_x, "degree ", euler_x*180/3.14)

print("euler_y ",euler_y, 'degree ', euler_y*180/3.14)

print("euler_z ",euler_z, 'degree ', euler_z*180/3.14)

最终输出为（-2，0，45°），符合预期

R_T_C

[[ 6.12323400e-17  6.12323400e-17  1.00000000e+00  0.00000000e+00]

 [-1.00000000e+00  3.74939946e-33  6.12323400e-17  0.00000000e+00]

 [-0.00000000e+00 -1.00000000e+00  6.12323400e-17  1.00000000e+00]

 [ 0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  1.00000000e+00]]

C_T_Ch

[[ 0.70710678 -0.         -0.70710678  0.        ]

 [ 0.          1.         -0.          0.        ]

 [ 0.70710678  0.          0.70710678 -2.        ]

 [ 0.          0.          0.          1.        ]]

R_T_Rh

[[ 7.07106781e-01 -7.07106781e-01 -1.79345371e-17 -2.00000000e+00]

 [ 7.07106781e-01  7.07106781e-01  4.32978028e-17 -1.65762483e-16]

 [-1.79345371e-17 -4.32978028e-17  1.00000000e+00 -2.22044605e-16]

 [ 0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  1.00000000e+00]]

to euler

('euler_x ', -4.3297802811774664e-17, 'degree ', -2.4820396516303945e-15)

('euler_y ', 1.7934537145592993e-17, 'degree ', 1.0280944860531014e-15)

('euler_z ', 0.7853981633974483, 'degree ', 45.022824653356906)